Riprendiamo un attimo le redini di questo ormai sempre meno attivo blog.
Nel post precedente venivano forniti un'infinità di topic che potrebbero far impallidire anche la fornitissima biblioteca di Phatt Island, ma per ora preferirei di occuparmi altro. Trovo decisamente più affascinante far conoscere alcune semplici meraviglie della matematica spiegandone l’uso e cercando di sottolineare l’uso inconsapevole che ne facciamo.
Mi sto riferendo alla trasformata di Fourier. Probabilmente si tratta di una delle formule che potrebbe essere usata come simbolo dell'evoluzione tecnologica del nostro tempo. È usata in mille campi diversi: musica, fisica, telecomunicazione, elettronica, astronomia... e spesso anche dal nostro cervello incosciamente.
Inoltre la formula è di una eleganza che ha pochi eguali, forse al di sotto solo dell’identità di Eulero
che in un sol colpo mette in relazione 5 costanti naturali.
Queste ultime due equazioni (che poi, in realtà, è solo una) sono nate dalla brillante mente di Jean Baptiste Fourier quasi 200 anni fa.
Il Jean Baptiste, rimasto orfano a 10 anni, ebbe una vita incredibilmente avventurosa e impegnata. Dapprima poliziotto segreto durante la Rivoluzione francese, poi prigioniero politico, fu anche professore universitario, governatore d’Egitto, prefetto di Francia e amico di Napoleone… se poi pensate che nel “tempo libero” ha pure trovato il tempo di diventare un pioniere nei campi della matematica e della fisica... Il Barone Fourier (titolo dato dallo stesso Napoleone) sviluppò la sua, ora famosa, serie di Fourier mentre studiava la conduzione del calore nei materiali. Nel suo lavoro il calore era quello generato da un cannone dopo essere fatto esplodere. Dopo ogni colpo il cannone si doveva raffreddare prima di poterlo utilizzare nuovamente. Lui voleva studiare il modo più veloce per farlo raffreddare. Molte scoperte scientifiche nascono in ambiti militari (bello o brutto che sia).
Dopo questi aneddoti storici che fanno tanto folklore, torniamo ora al significato della trasformata di Fourier.
Un po’ come l’analisi chimica di un piatto ci permette di capire quali elementi base sono stati utilizzati, l’analisi di Fourier ci consente di scomporre una qualsiasi onda per calcolarne tutte le sue componenti base (frequenze).
Più precisamente la trasformata di Fourier permette di calcolare le diverse componenti (ampiezza, fase e frequenza) delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, danno origine al segnale di partenza.
Una semplice applicazione può essere: la trasformata di Fourier di un accordo musicale ci permette di capire quali note sono state suonate. Un lettore poco furbo potrebbe dire: "cosa me ne faccio di una formula matematica per capire quali note sono state suonate? Io ho il mio orecchio che funziona benissimo e non sbaglio una nota. Riesco a suonare una qualsiasi musica avendola sentita una sola volta". Sì, questo può essere vero. Però l'applicazione è un'altra.
Essendo in grado di capire quali frequenze sono state emesse da un qualsiasi strumento, possiamo anche selezionare quali frequenze sono udibili al nostro orecchio e quali no, e in tal caso tagliarle.. “alleggerendo” il tutto.
Questo è l'idea di base della codifica MP3. Registriamo un segnale ad alta qualità (si prendono tutte le frequenze, anche quelle che non ci servono), effettuiamo la trasformata di Fourier, tagliamo le frequenze che non ci servono (quelle non udibili dal nostro orecchio) e torniamo al segnale nel tempo con l'anti-trasformata di Fourier. Ciò che è cambiato è che il file è decisamente più leggero misurato in quantità di bit necessari. Geniale!
La stessa cosa si può fare per il processing di immagini e video. Utilizzando il lavoro di Fourier è possibile “ripulire” singoli fotogrammi restituendoci un video in qualità superiore (ai nostri occhi).
Una proprietà della trasformata di Fourier è che non si trasforma nulla. Viene visto lo stesso oggetto solamente da un punto di vista diverso che in tanti casi più essere più utile per risolvere vari problemi, matematici e non.
Questa tecnica viene usata per risolvere equazioni differenziali, serve per mandare informazione "compatta" (ad esempio si usa per distribuire l'informazione di internet sui cavi telefonici, oppure per il digitale terrestre, cellulari...!!)
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